Objetivo:

Caros alunos, sejam bem vindos!
Este blog tem por objetivo auxiliar vocês nos estudos de Matemática e Geometria através de textos, trabalhos e exercícios, além de lembrar datas importantes, como trabalhos, testes e provas.

quinta-feira, 18 de agosto de 2011

EJA 6º ano Exercícios com expressões numéricas

1) Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas:
a) 27 – 12 + 70 =
b) 45 – 30 – 9 + 81 =
c) 100 – 36 – 64 =
d) 176 – 89 + 27 – 50 – 11 =
e) 278 + 132 – 215 – 100 + 222 – 155 =
2) Determine o valor das seguintes expressões numéricas:
a) 70 – (50 + 10 – 45) + (80 – 65 + 11) =
b) 161 + (53 – 38 + 40) – 51 – (90 – 70 + 82) =
c) 7- { 5+[ 8- (12-9)]-3} =
d) 9+8+[49+{36:2}-3] =

3) Resolva as expressões numéricas:
a) 36 + 45 + (81 : 9) =
b) 48 + 14 + (35 x 2) =
c) 59 + 32 + (4 x 4) =
d) 124 – 36 + (21 x 6) =
e) 498 – 342 (35 : 5) =
f) (25 x 3) – 18 + 12 =
g) 3 + 6 x (5 + 4) ÷ 3 – 7 =

h) 9 - 5 ÷ (8 - 3) x 2 + 6 =

i) 150 ÷ (6 + 3 x 8) – 5 =

4) Calcule as expressões
a) 3x75+3x25 = (R:300)
b) 5x97+5x3 = (R:500 )
c) 4x101+4x99 = (R:800)
d) 20x47+80x47 = (R:4700)
e) 12+16:8x3-5 = (R:13)f) 100-6x7+8:2 = (R:62)
g) 64:8+5x5-3 = (R: 30)
h) 1+3+5x7-9:3 = (R:36)

5) Calcule o valor das expressões:
a) 7+15:3 = (R:12)
b) 4x5+1 = (R:21)
c) 10:2+8 = (R:13)
d) 32+12:2 = (R:38)

e) 20:10+10 = (R:12)

f)7x3-2x5 = (R:11)

g)40-2x4+5 = (R:37)

h)4x3+10:2 = (R:17)

i)50-16:8+7 = (R:55)

j)32:4:2:2 = (R:2)

6) Calcule o valor das expressões
a) (13+2)x3+5 = (R:50)

b)(7+2)x(3-1) = (R:18)

c)(4+2x5)-3 = (R:11)

d) 20-(15+6:3) = (R:3)

e)15+[6+(8-4:2)] = (R:27)

f)40-[3+(10-2):2] = (R:33)

g)[30+2x(5-3)]x2-10 = (R:58)

h) 10+[4+(7x3+1)]-3 = (R:33)

7) Calcule o valor das expressões
a) (3+2)x(5-1)+4 = (R:24)
b) 82-8x7:(4-1x3) = (R:26)

c) 25-[10-(2x3+1)] = (R:22)

d) 70-[12+(5x2-1)+6] = (R:43)

e)8:2+[15-(4x2+1)] = (R:10)

f)9+[4+2x(6-4)+(2+5)]-8 = (R:16)

g) 50+{10-2x[(6+4:2)-(10-3)]} = (R:58)

h)180:{10+2x[20-45:(13-2x5)]} = (R:9)

8) Calcule o valor das expressões:
a) 70:7-1= (R:9)

b) 20+3x2= (R:26)

c) 30+10:10 = (R:31)

d) 150-7x12= (R:66)
e) 48:16+20:4 = (R:8)

f) 10-8:2+3 = (R:9)

g) 30:5-1+2x3 = (R:11)

9) Calcule as expressões:
a)(3+4)x(9-8) = (R:7)

b)(20+8):(3+4) = (R:4)

c)15+8x(2+3) = (R:55)

d)(5+3x2)-1= (R:10)

e)25+(8:2+1)-1= (R:29)

f) 15+[5x(8-6:2)] = (R:40)

g)50-[13-(10-2):2] = (R:41)

h)[40+2x(7-5)]x2-20 = (R:68)

10) Calcule o valor das expressões:
a)16+[10-(18:3+2)+5]

b)25-[12-(3x2+1)]

c)90-[25+(5x2-1)+3]

d)45+[(8x5-10:2)+(18:6-2)]

e) 50-2x{7+8:2-[9-3x(5-4)]}

f)100-3x{5+8:2-[3x(7-6)]}

11) Determine o valor de cada expressão
a) 1000 - [(2 . 4 - 6) + ( 2 + 6 . 4)] = (R: 972)

b) 60 + 2 . {[ 4 . ( 6 + 2 ) - 10 ] + 12} = ( R: 128 )

c) [( 4 + 16 . 2) . 5 - 10] . 100 = (R: 17.000)

d) { 10 + [ 5 . ( 4 + 2 . 5) - 8] . 2 } - 100 = ( R: 34)

e) 80 - 5 . ( 28 - 6 . 4 ) + 6 - 3 . 4 = (R: 54)

12) Calcule
a) 4 . ( 10 + 20 + 15 + 30) = (R: 300)

b) (10 . 6 + 12 . 4 + 5 . 8 ) - 40 = (R: 108)

c) [ 6 . ( 3 . 4 - 2 . 5) - 4 ] + 3 . ( 4 - 2) - ( 10 : 2 ) =
(R: 9)
d) 67 + { 50 . [ 70 : ( 27 + 8 ) + 18 : 2 ] + 21 } = (R:638)

e) [ 30 . ( 9 - 6)] + { 30 : ( 9 + 6 ) ] = (R: 92)

f) 58 - [ 20 - ( 3 . 4 - 2) : 5 ] = (R: 40)
g) 40 + 2 . [ 20 - ( 6 + 4 . 7 ) : 2 ] = ( R: 46)

13) Calcule o valor das expressões
a) (12 + 2 . 5) - 8 = (R: 14)
b) 25 - ( 15 + 6 : 3) = (R: 8)c) 25 +[7 + ( 8 - 4 :2)] = (R: 38)
d) 60 - [8 + ( 10 - 2 ) : 2] = (R: 46)
e) 80 - [ 22 + ( 5 . 2 - 1 ) + 6] = (R: 43)
f) 14 : 2 + [ 13 - ( 4 . 2 + 1 ) ] = (R: 11)
g) [ 30 + 2 x ( 5 – 3 ) ] x 2 – 10
h) 20 : 10 + 10
i) 10 + [ 4 + ( 7 x 3 + 1 ) ] – 3

14) Resolva as expressões numéricas:
a) 8 – ( 1 + 3)
b) 7x 3 – 2 x 5
c) ( 13 – 7 ) + 8 – 1
d)4 x 3 + 10 : 2
e) 15 – ( 3 + 2 ) – 6
f) 40 – 2 x 4 + 5
g) ( 10 – 4 ) – ( 9 – 8 ) + 3
h) 50 – 16 : 8 + 7
i) 50 – [37 – ( 15 – 8 ) ]
j) 32 : 4 : 2 : 2
l) 28 + [ 50 – ( 24 – 2 ) – 10 ]
m) ( 13 + 2) x 3 + 5
n) 20 + [ 13 + ( 10 – 6 ) + 4 ]
o) ( 7 + 2 ) x ( 3 – 1 )
p) 52 – { 12 + [ 15 – ( 8 – 4 )]}
q) ( 4 + 2 x 5 ) – 3
r) 7 + 15 : 3
s) 20 – ( 15 + 6 : 3)
t) 4 x 5 + 1
u) 15 + [ 6 + ( 8 – 4 : 2 )]
v) 10 : 2 + 8
x) 40 – [ 3 – (10 – 2 ) : 2 ]
z) 32 + 12 : 2



sexta-feira, 29 de julho de 2011

Conjunto dos números reais

Conjunto dos Números Reais...1ºs F, G, H e I
...A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.

...E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.

...Conjunto dos Números Naturais
Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:

N = {0; 1; 2; 3; …}
Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.

Observações:
Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N.
Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.

...Conjunto dos Números Inteiros
Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}



No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:

Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0};
Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.
Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.



Observações:
No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;
Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;

...Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;

...Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.

...Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:



...Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos).

Observações:

São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q,
...a/b diferente de zero,
...existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;
Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;
Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…).

Números Irracionais
Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.


São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.

A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.

Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:


Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:



Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.

Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.

...Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:

R = {x | x é racional ou x é irracional}

Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.

Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.




Referências:
Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

quarta-feira, 20 de julho de 2011

História das frações

No antigo Egito por volta do ano 1000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.
Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.
Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).
Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no antigo Egito os símbolos se repetiam muitas vezes.
Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.
Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

História dos números

Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou para pensar sobre:
a.    O modo como surgiram os números?
b.    Como foram as primeiras formas de contagem?
c.    Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?
d.    Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.
e.    Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.
f.     Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a presença dos números.
g.     
h.    O Início do processo de contagem
i.      Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.
j.      O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.
k.    As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.
l.      A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.
m.   No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
n.    No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
o.    A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.
p.    Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.
Alguns símbolos antigos
No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:
I
II
III
IIII
IIIII
IIIIII
IIIIIII
IIIIIIII
IIIIIIIII
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:
I
II
III
IIII
IIII
I
IIII
II
IIII
III
IIII
IIII
IIII
IIII
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/z10107.png
Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado a aproximadamente 4 mil anos.
Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33.

O ábaco
O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com fileiras de arame, cada fileira representando uma classe decimal diferente, nas quais correm pequenas bolas
abaco
No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais. No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular.

O Sistema de numeração Indo-Arábico
Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.